Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 18
Passo 1
Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.
Para verificar se nossa função dada por é exata, tomamos
E verificamos se seu valor é nulo
Passo 2
Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e assim
Assim nos resta apenas integrar tudo em , ou seja
Vamos resolver nosso problema com uma pequena técnica.
Não sabemos resolver , mas vamos supor que sabemos e seu valor de , então
Mas como trocar por não muda o valor da nossa integral, então
E vamos fazer agora uma substituição por coordenadas polares, ou seja
e
O que implica em
Assim temos
E agora vamos pra mais uma substituição, onde
Assim
Nisso chegamos em
E por fim
A resposta do livro, temos que apenas não resolvemos nossa equação e assumimos que
Implicando em
Tomando nosso valor inicial
Como a integral de á é nula, então , assim temos
Agora vocês tem as duas resposta. A resolvida e a que o livro nos dá.