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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 8

x (d y)/(d x) + 2 y = (s e n x)/(x^2) , y (2) = 1

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

((2 y)/(x) - (s e n x)/(x^2)) d x + d y = 0

Assim tome

(del (1))/(del x) - (del ((2 y)/(x) - (s e n x)/(x^2)))/(del y) = (2)/(x)

Ou seja, nossa função não é exata. Então devemos achar um fator integrante para nos ajudar.

Dividindo nosso resultado por N temos que obtemos uma função só de x

Assim temos que

mu (x) = exp int (2)/(x) d x = exp ln x^2 = x^2

Assim ficamos com

x^2 d y + (2 x y - s e n x) d x = 0

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema de valor inicial achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = ( 2 x y - s e n x )

E

(del varphi)/(del y) = x^2

Assim temos que

varphi = int (2 x y - s e n x) d x = x^2 y + cos x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar x^2 como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x^2 y + cos x + C (y)) = x^2 + C^' (y) = x^2

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = y x^2 + cos x + C = 0

Tomando o valor inicial y (2) = 1

Então

(2) (1)^1 + cos 1 + C = 0

Tendo C = - 2 - cos 1

Assim nossa solução será

y x^2 + cos x - 2 - cos 1 = 0

Resposta

y x^2 + cos x - 2 - cos 1 = 0

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