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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 8

Em cada um dos problemas de 1 e 12:

(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.

(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.

(c) Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use – a para determinar o comportamento das soluções quando t   →   ∞ .

( 1 + t 2 ) y ' + 4 t y = 1 + t 2 - 2

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

a)

b) Para t   →   ∞   ; y →   0

Passo 3

c) Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

( 1 + t 2 ) y ' + 4 t y = 1 + t 2 - 2

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 4 t 1 + t 2 μ t   y = μ t   1 + t 2 - 3

De modo que

d μ t d t = 4 t 1 + t 2 μ t   ⟹     d μ t μ t = 4 t 1 + t 2 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 4 t 1 + t 2 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = 2 ∫ 2 t 1 + t 2 d t ⟹   ln ⁡ μ t = 2 ln ⁡ 1 + t 2   ⟹   μ t = 1 + t 2 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 4 t 1 + t 2 μ t   y = μ t   1 + t 2 - 3   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   1 + t 2 - 3   ⟹   d   μ t   y =   μ t 1 + t 2 - 3 d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ 1 + t 2 2 y =   ∫ 1 + t 2 2 1 + t 2 - 3 d t =   ∫ 1 + t 2 - 1 d t = a r c t g t + C

y   = a r c t g t 1 + t 2 2 + C 1 + t 2 2

Para t   →   ∞   ; y →   0

Resposta

y   = a r c t g t 1 + t 2 2 + C 1 + t 2 2

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