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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 14

(x + y) + (x + 2 y) (d y)/(d x) = 0 , y (2) = 3

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa função é exata. Para isso

(del)/(del x) (x + 2 y) - (del)/(del y) (x + y) = 1 - 1 = 0

Assim nossa função é dita exata.

Desta forma podemos partir para próxima etapa para descobrirmos a solução da nossa equação diferencial.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = x + y

E

(del varphi)/(del y) = x + 2 y

Assim temos que

varphi = int (x + y) d x = (x^2)/(2) + x y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar x + 2 y como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) ((x^2)/(2) + x y + C ( y )) = x + C^' (y) = x + 2 y

Desta forma temos que C^' (y) = 2 y -> C (y) = y^2 + C e nossa solução geral é:

varphi (x , y) = (x^2)/(2) + x y + y^2 + C = 0

Mas nosso enunciado nos deu a condição inicial y (2) = 3 . Então, podemos definir o valor da constante C substituindo os valores em:

(x^2)/(2) + x y + y^2 + C = 0

(2^2)/(2) + 2 * 3 + 3^2 + C = 0

2 + 6 + 9 + C = 0

C = 17

Portanto, nossa solução é:

(x^2)/(2) + x y + y^2 + 17 = 0

Resposta

(x^2)/(2) + x y + y^2 + 17 = 0

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5) Determine u (x, y), que só dependa de y, de modo que ( y 2+1 )u( x ,y )d x+( x+y 2-1 )u( x ,y )d y seja exata