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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 26

26. y^((4)) - 7 y^(' ' ') + 6 y^(' ') + 30 y^' - 36 y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

r^4 - 7 r^3 + 6 r^2 + 30 r - 36 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos as raízes reais...

r_1 = - 2

r_2 = 3

r_3 = 3 + sqrt(3)

r_4 = 3 - sqrt(3)

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r_1 = - 2 como ele é real...

    • y_1 = e^(r_1 t) = e^(- 2 t)

  • Para r_2 = 3 como ele é real...

    • y_2 = e^(r_2 t) = e^(3 t)

  • Para r_3 = 3 + sqrt(3) como ele é real...

    • y_3 = e^(r_3 t) = e^((3 + sqrt(3)) t)

  • Para r_4 = 3 - sqrt(3) como ele é real...

y_4 = e^(r_4 t) = e^((3 - sqrt(3)) t)

A solução geral então pode ser dada por...

y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 + c_4 y_4 ->

y = c_1 e^(- 2 t) + c_2 e^(3 t) + c_3 e^((3 + sqrt(3)) t) + c_4 e^((3 - sqrt(3)) t)

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c_1 e^(- 2 t) + c_2 e^(3 t) + c_3 e^((3 + sqrt(3)) t) + c_4 e^((3 - sqrt(3)) t)

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