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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 20

Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.

sin ⁡ y y - 2 ⋅ e - x ⋅ sin ⁡ x + cos ⁡ y + 2 ⋅ e - x ⋅ cos ⁡ x y ⋅ y ' = 0 ,       μ x , y = y ⋅ e x

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

sin ⁡ y y - 2 ⋅ e - x ⋅ sin ⁡ x d x + cos ⁡ y + 2 ⋅ e - x ⋅ cos ⁡ x y d y = 0

Primeiros vamos mostrar que nossa equação não é exata. Se derivarmos o termo que acompanha d x por y e o termo que acompanha d y por x , vamos chegar que:

d d y sin ⁡ y y - 2 ⋅ e - x ⋅ sin ⁡ x = y ⋅ cos ⁡ y - sin ⁡ y y 2

d d x cos ⁡ y + 2 ⋅ e - x ⋅ cos ⁡ x y = 2 ⋅ - e - x ⋅ cos ⁡ x - e - x ⋅ sin ⁡ x y

Como essas duas equações não são iguais, temos que será preciso multiplicar pelo fator integrante. Ao fazermos isso, nossa equação se torna:

y ⋅ e x ⋅ sin ⁡ y y - 2 ⋅ e - x ⋅ sin ⁡ x d x + y ⋅ e x ⋅ cos ⁡ y + 2 ⋅ e - x ⋅ cos ⁡ x y d y = 0

e x ⋅ sin ⁡ y - 2 ⋅ y ⋅ sin ⁡ x d x + e x ⋅ cos ⁡ y + 2 ⋅ cos ⁡ x d y = 0

Agora derivando novamente no mesmo processo do que na primeira parte, vamos chegar que

d d y e x ⋅ sin ⁡ y - 2 ⋅ y ⋅ sin ⁡ x = e x ⋅ cos ⁡ y - 2 ⋅ sin ⁡ x = d d x e x ⋅ cos ⁡ y + 2 ⋅ cos ⁡ x

Como queriamos que fosse, sobrando agora só resolvermos a equação (;-;)

Passo 3

Bom, vamos lá. Pra acharmos qual a solução vamos pegar o termo M ( x , y ) e integrarmos em relação a x . Após isso, vamos pegar o resultado, derivar em relação a y e igualar com nosso termo N x , y . Vamos fazer isso!

Y x , y = ∫ M x , y d x + g y =

= ∫ e x ⋅ sin ⁡ y - 2 ⋅ y ⋅ sin ⁡ x d x + g y = e x ⋅ sin ⁡ y + 2 ⋅ y ⋅ cos ⁡ x + g y

Derivando em relação a y , vamos ter que

d d y Y x , y = e x ⋅ cos ⁡ y + 2 ⋅ cos ⁡ x + g ' y = e x ⋅ cos ⁡ y + 2 ⋅ cos ⁡ x = N x , y

Assim chegamos que nosso g ' y = 0 e g y = C . Assim, temos que nossa solução para a EDO fica

Y x , y = e x ⋅ sin ⁡ y + 2 ⋅ y ⋅ cos ⁡ x + C

Resposta

e x ⋅ sin ⁡ y + 2 ⋅ y ⋅ cos ⁡ x = C

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