Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 8
Em cada um dos problemas de a , siga o procedimento ilustrado no exemplo para determinar as raízes indicadas do número complexo dado.
8.
Passo 1
No exemplo , estávamos interessados em encontrar as raízes da equação:
Onde é um número complexo! Vimos que as raízes dele são dadas por:
E aí descobrimos que podemos encontrar qualquer raiz complexa como essa daí usando a notação de Euler para os números complexos onde podemos pegar qualquer número complexo na sua forma polar e transformar em uma exponencial complexa, veja:
Beleza! Mas no isso foi para o exemplo , agora e se tivéssemos que descobrir as raízes complexas onde...
Passo 2
Primeiro, devemos transformar em um número complexo da forma polar:
Onde é o módulo do número complexo:
Já...
Afinal e . De modo que...
Como qualquer múltiplo de é também funciona...
Pela notação de Euler então...
Passo 3
Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de , então...
Transformando para cosseno e seno então...
Fazendo então , ...
- Para o :
- Para ...
Então essas são as raízes complexas tal que são...