Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

5 - (d x)/(d t) = ([[1,-,5],[1,-,3]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[1,-,5],[1,-,3]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[1,-,5],[1,-,3]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[1,-,5],[1,-,3]]) (xi e^(r t))

= ([[1,-,r,-,5],[1,-,3,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[1,-,r,-,5],[1,-,3,-,r]]| = 0

r^2 + 2 r + 2 = 0

r = - 1 ∓ i

Portanto, os autovalores são r_1 = - 1 + i e r_2 = - 1 - i .

Passo 3

Quando r = r_1 = - 1 + i , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[2,-,i,-,5],[1,-,2,-,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

( 2 - i ) xi_1 = 5 xi_2

xi_1 = ( 2 + i ) xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 + i é: xi^1 = ([[2,+,i],[1]])

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r_2 = - 1 - i .

Substitua  r = - 1 - i na equação ( 2 ) ,

= ([[1,-,(,-,1,-,i,),-,5],[1,-,3,-,(,-,1,-,i,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[2,-,i,-,5],[1,-,2,-,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - 1 - i é: xi^2 = ([[2,-,i],[1]])

Portanto, a solução geral é,

x = c_1 ([[2,+,i],[1]]) e^(( - 1 + i ) t) + c_2 ([[2,-,i],[1]]) e^(( - 1 - i ) t)

Onde  c_1 e  c_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são números complexos e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um espiral. Como a parte real é um real negativo, deve ser assintoticamente estável.

Além disso, todas as soluções se aproximam à  ( 0,0 ) medida que t aumenta.

Assim, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Passo 6

c) Várias trajetórias no plano de fase são mostradas abaixo.

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c_1 , c_2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Alguns gráficos típicos de  x_1 , x_2 versus  t para várias condições iniciais são desenhados abaixo:

Para  x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = - 2 :

Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = - 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = - 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = 2 :

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = - 1 + i e r_2 = - 1 - i .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 + i é: xi^1 = ([[2,+,i],[1]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - 1 - i é: xi^2 = ([[2,-,i],[1]])

  2. O ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

  4. Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = - 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = - 2 :

O Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = 2 :

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja os Problemas
Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de
Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de
Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de
Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de