Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 20
20 - Considere o sistema linear
em que são constantes reais. Seja e .
Note que e são, respectivamente, o traço e o determinante da matriz de coeficientes do sistema dado. Mostre que o ponto crítico é um
(a)Nó, se q > 0 e Δ ≥ 0;
(b)Ponto de sela, se q
(c)Ponto espiral, se p ≠ 0 e Δ
(d)Centro, se p = 0 e q > 0.
Sugestão: Essas conclusões podem ser obtidas estudando-se os autovalores e . Também pode ajudar estabelecer e depois usar as relações.
Passo 1
Considere que o sistema linear é
Onde e são constantes reais.
Este sistema também pode ser escrito como:
Temos que , logo o sistema torna-se:
Passo 2
Tenhamos .
Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.
Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.
Substitua e na solução acima.
Vamos relembrar como achar o delta da equação de segundo grau.
Logo:
Claramente, o traço e o determinante da matriz são e .
Lembre-se de que, na equação quadrática , representa a soma das raízes e o produto das raízes.
Vamos supor que e sejam as raízes da equação , então e .
Passo 3
- Suponha que, e .
Como o produto das raízes (valores próprios) é positivo
Desde então, a equação tem raízes reais.
Caso 1:
se as raízes reais são raízes positivas, então .
Lembre-se do resultado, se os autovalores a , o ponto crítico do sistema linear é um nó.
Portanto, pelo resultado, o ponto crítico do sistema é um nó.
Caso 2:
se as raízes reais são raízes negativas, então .
Lembre-se do resultado, se os autovalores a , o ponto crítico do sistema linear é um nó.
Portanto, pelo resultado, o ponto crítico do sistema (1) é um nó.
Passo 4
b)
Assuma isso,
Neste, o valor próprio deve ser negativo
Lembre-se do resultado, se os autovalores a , o ponto crítico do sistema linear é o ponto de sela.
Portanto, pelo resultado, o ponto crítico do sistema (1) é o ponto de sela.
Passo 5
c)
Suponha que, e .
Desde então , a equação tem raízes imaginárias.
Lembre-se do resultado, se os autovalores a , o ponto crítico do sistema linear é um ponto de espiral.
Portanto, pelo resultado, o ponto crítico do sistema (1) é o ponto de espiral.
Passo 6
d)
Suponha que, e
Então, o discriminante é,
Ou seja, teremos raízes imaginarias.
Lembre-se do resultado, se os autovalores a e , o ponto crítico do sistema linear é um centro.
Portanto, pelo resultado, o ponto crítico do sistema é um centro.
Resposta
Veja a resolução