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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 8

(a) Mostre que o sistema

d x d t = - y + x f r r ,     d y d t = x + y f r r

Tem soluções periódicas correspondentes aos zeros de f ( r ) . Qual o sentido do movimento nas trajetórias fechadas no plano de fase?

(b) Seja f r = r r - 2 2 ( r 2 - 4 r + 3 ) . Determine todas as soluções periódicas e suas características de estabilidade.

Passo 1

Beleza! Nós sabemos que as coordenadas polares são dadas por:

x = r c o s θ ;       y = r s e n θ

Então, podemos escrever:

r . d r d t = x . d x d t + y . d y d t

Agora vamos substituir os valores de d x / d t e d y / d t fornecidos no enunciado, então, teremos:

r . d r d t = x - y + x f r r + y x + y f r r = - x y + x 2 f r r + x y + y 2 f r r

r . d r d t = f r r x 2 + y 2

Agora, substituindo os valores de x e y para coordenadas polares, temos:

r . d r d t = f r r r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência e utilizando a relação trigonométrica s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , chegamos em:

r . d r d t = f r r r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ → r . d r d t = r f r → d r d t = f r

Da mesma forma, para θ teremos:

r 2 . d θ d t = x . d y d t - y . d x d t

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

r 2 . d θ d t = x x + y f r r - y - y + x f r r = x 2 + x y f r r + y 2 - x y f r r

r 2 . d θ d t = x 2 + y 2

Substituindo os valores de x e y para as coordenadas polares, teremos:

r 2 . d θ d t = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

r 2 . d θ d t = r 2 → d θ d t = 1

Passo 2

Com as equações obtidas no passo 1, e sabendo que as soluções do sistema são dadas por:

d r d t = 0

Nós vimos no passo 1 que:

d r d t = f ( r )

Então as soluções do sistema podem ser encontradas através de:

f r = 0

Então, as soluções do sistema são de fato dadas pelos zeros de f ( r ) . E nesse caso, o movimento das trajetórias fechadas no plano de fase será no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós vamos determinar as soluções do sistema, então, teremos que:

f r = r r - 2 2 r 2 - 4 r + 3 = 0

Então, dessa equação temos 3 possibilidades:

r = 0 → r 1 = 0

r - 2 2 = 0 → r 2 = 2

r 2 - 4 r + 3 = 0 → r 3 = 1 ; r 4 = 3

Os sinais nos intervalos de r serão:

0 < r < 1 → d r d t < 0

1 < r < 2 → d r d t > 0

2 < r < 3 → d r d t < 0

r > 3 → d r d t > 0

Então, nesse caso teremos o ponto r = 0 como sendo instável. O ponto r = 1 será assintoticamente estável. O ponto r = 2 será semi-estável e o ponto r = 3 será instável.

Passo 4

Os ciclos limites serão determinados a partir de d θ / d t encontrado no passo 1, então, teremos para r = 1 :

r = 1 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Esse será um ciclo limite assintoticamente estável. Da mesma forma, para r = 2 , temos:

r = 2 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Que será um ciclo limite semi-estável. E, para r = 3 , temos:

r = 3 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Que será um ciclo limite instável.

Resposta

r = 1 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0   ( a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l )

r = 2 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0   ( s e m i - e s t á v e l )

r = 3 ; d θ d t = 1 → θ = t + t 0   ( i n s t á v e l )

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