Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 21
A Equação de Hermite. A equação:
em que λ é constante, é conhecida como a equação de Hermite. Essa é uma equação importante
em física matemática.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma de duas soluções em torno de x = 0 e
mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
(b) Note que, se λ for um inteiro par não negativo, então uma ou outra das soluções em série
termina e torna-se um polinômio. Encontre as soluções polinomiais para λ = 0, 2, 4, 6, 8 e 10.
Note que cada polinômio é determinado a menos de uma constante multiplicativa.
(c) O polinômio de Hermite é definido como a solução polinomial da equação de
Hermite com λ = 2n para a qual o coeficiente de é . Encontre , . . . , .
Passo 1
Beleza! Para encontrar os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de x = 0, nós vamos procurar por uma solução em torno de zero no formato de uma série de potência, então, teremos:
Então, derivando essa expressão para obter e , temos:
Agora vamos substituir esses termos na equação fornecida no enunciado, obtendo:
E, rearranjando os termos, chegamos em:
Agora, reescrevendo para que todos os somatórios começem de , temos:
E, agora, agrupando os somatórios, temos:
Passo 2
Agora, como a equação obtida é igual a zero, temos que os termos dentro e fora do somatório devem ser iguais a zero, dessa forma, obtemos um sistema com duas equações, sendo elas:
Então, da segunda equação, temos:
Essa é a fórmula de recorrência. Agora analisando a primeira equação do nosso sistema, temos:
Podemos observar, que substituindo na fórmula de recorrência, obtemos exatamente esse valor para . E, então, os primeiros termos serão:
Observe que deixamos tudo em função de e , sempre substituindo os termos já conhecidos.
Passo 3
Então, escrevendo a solução, teremos:
Então, colocando os termos e em evidência, temos:
Então, teremos:
Em que:
Passo 4
Agora, para mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano de e em torno de . Sabemos que o Wronskiano é dado por:
Então, precismaos calcular as derivadas de e . Dessa forma, teremos:
E, para temos:
Agora, calculando os valores das funções ao redor de 0, temos:
Então, o Wronskiano será:
Então, como o Wronskiano é diferente de zero, e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 5
Agora para a letra (b), vamos substituir os valores de para as soluções e , então, temos:
Então, as soluções polinomiais são:
Passo 6
Agora, para a letra (c), precisamos encontrar os coeficientes , então, precisamos encontrar uma expressão para eles. Dos termos do passo 2, podemos escrever então:
A partir de até . Então, podemos resumi-lás como:
E, como o enunciado nos disse que temos o coeficiente de sendo . Então, a equação para o polinômio de Hermite se torna:
No entanto, sabendo que , então, temos:
Passo 7
Então, calculando os termos, teremos:
Os coeficientes 0 e 1 serão dados através da relação fornecida no enunciado, onde temos que é , dessa forma, temos:
Então, os dois primeiros polinômios serão: