Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 22

Considere o problema de valor inicial .

(a) Mostre que y = sen x é a solução desse problema de valor inicial.

(b) Procure uma solução do problema de valor inicial em forma de série de potências em torno

de x = 0. Encontre os coeficientes dessa série até o termo contendo x³.

Passo 1

Tá legal! Para fazer a letra (a), vamos tomar o problema de valor inicial dado:

Agora, vamos dividir ambos os lados por :

E, sabendo que , podemos escrever:

Agora vamos integrar essa expressão dos dois lados, obtendo:

Agora, vamos utilizar a condição de contorno fornecida no enunciado, onde , então, temos:

Então, tomando , obtemos exatamente a solução apresentada no item (a):

Passo 2

Agora para a letra (b), vamos considerar a expansão da função em torno de , então, teremos:

Então, a solução do problema ao redor de em forma de série de potências será:

Substituindo os valores encontrados para as derivadas, temos:

Resposta

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Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .5. y ' ' + x 2 y ' + x y = 0

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .2. y ' ' + x 2 y = 0

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .7. x - 1 y ' ' + y ' = 0

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .8. x + 2 y ' ' + x y ' - y = 0

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .6. y ' ' + 2 x y ' + 2 y = 0