2 - dx/dt = -x, dy/dt = 2y; x(0) = 4, y(0) = 2 e x(0) = 4, y(0) = 0.

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = - x   e   d y d t = 2 y

Considere d x d t = - x … . .   ( 1 )

Primeiro, encontre a solução geral da equação diferencial.

d x d t = - x … . .   ( 1 )

Use o método separável com as seguintes condições iniciais  x 0 = 4 .

Reescreva a equação diferencial (1) como:

1 x d x = - d t

Integrando ambos os lados,

ln ⁡ x = - t + c

Ou x = c 1 e - t

Onde c 1  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

x 0 = 4

Então, c 1 = 4

Portanto, a solução da equação (1) é  x = 4 e - t .

Passo 2

Considere d y d t = 2 y … . .   ( 2 )

Então,

1 y d y = 2 d t

Integrando ambos os lados,

ln ⁡ y = 2 t + c 2

Ou y = c 2 e 2 t

Onde c 2  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

y 0 = 2

Então, c 2 = 2

Portanto, a solução da equação (2) é  y = 2 e 2 t

Agora com a condição inicial y 0 = 0 .

y 0 = c 2 e 2 ( 0 )

0 = c 2

Substitua c 2 = 0 em y = c 2 e 2 t , para obter y = 0 .

Passo 3

Agora,

d x d t = - x e d y d t = 2 y

d y d x = d y d t d x d t = - 2 y x

Ou,

1 y d y = - 2 d x x

Integrando ambos os lados,

  ∫ 1 y d y = - 2 ∫ 1 x d x  

ln ⁡ y = - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ c 3

ln ⁡ y = ln ⁡ c 3 x 2

Ou, y x 2 = c 3 .

y = c 3 x 2

Use as condições iniciais  x ( 0 ) = 4 , y ( 0 ) = 2 para obter:

x 2 0 y 0 = c 3

4 2 ⋅ 2 = c 3

c 3 = 32

Portanto, a solução do sistema fornecido é H 1 x , y = x 2 y - 32

Passo 4

E a partir do segundo conjunto de condições iniciais  x ( 0 ) = 4 , y ( 0 ) = 0 temos:

x 2 0 y 0 = c 3

4 2 ⋅ 0 = c 3

c 3 = 0

Portanto, a solução do sistema fornecido é H 2 x , y = x 2 y .

Passo 5

As trajetórias do sistema são dadas por:

Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, veja que, para uma condição inicial positiva,  x diminuirá enquanto  y aumentará.

Resposta

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