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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 2

2 - (d x)/(d t) = - x , (d y)/(d t) = 2 y ; x (0) = 4 , y (0) = 2 e x (0) = 4 , y (0) = 0 .

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = - x e (d y)/(d t) = 2 y

Considere (d x)/(d t) = - x ... . . ( 1 )

Primeiro, encontre a solução geral da equação diferencial.

(d x)/(d t) = - x ... . . ( 1 )

Use o método separável com as seguintes condições iniciais  x (0) = 4 .

Reescreva a equação diferencial (1) como:

(1)/(x) d x = - d t

Integrando ambos os lados,

ln x = - t + c

Ou x = c_1 e^(- t)

Onde c_1  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

x (0) = 4

Então, c_1 = 4

Portanto, a solução da equação (1) é  x = 4 e^(- t) .

Passo 2

Considere (d y)/(d t) = 2 y ... . . ( 2 )

Então,

(1)/(y) d y = 2 d t

Integrando ambos os lados,

ln y = 2 t + c_2

Ou y = c_2 e^(2 t)

Onde c_2  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

y (0) = 2

Então, c_2 = 2

Portanto, a solução da equação (2) é  y = 2 e^(2 t)

Agora com a condição inicial y (0) = 0 .

y (0) = c_2 e^(2 ( 0 ))

0 = c_2

Substitua c_2 = 0 em y = c_2 e^(2 t) , para obter y = 0 .

Passo 3

Agora,

(d x)/(d t) = - x e (d y)/(d t) = 2 y

(d y)/(d x) = ((d y)/(d t))/((d x)/(d t)) = (- 2 y)/(x)

Ou,

(1)/(y d y) = (- 2 d x)/(x)

Integrando ambos os lados,

int (1)/(y) d y = - 2 int (1)/(x) d x

ln y = - 2 ln x + ln c_3

ln y = ln (c_3)/(x^2)

Ou, y x^2 = c_3 .

y = (c_3)/(x^2)

Use as condições iniciais  x ( 0 ) = 4 , y ( 0 ) = 2 para obter:

x^2 (0) y (0) = c_3

4^2 * 2 = c_3

c_3 = 32

Portanto, a solução do sistema fornecido é H_1 (x , y) = x^2 y - 32

Passo 4

E a partir do segundo conjunto de condições iniciais  x ( 0 ) = 4 , y ( 0 ) = 0 temos:

x^2 (0) y (0) = c_3

4^2 * 0 = c_3

c_3 = 0

Portanto, a solução do sistema fornecido é H_2 (x , y) = x^2 y .

Passo 5

As trajetórias do sistema são dadas por:

Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, veja que, para uma condição inicial positiva,  x diminuirá enquanto  y aumentará.

Resposta

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