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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 18

18 - (d x)/(d t) = 2 y , (d y)/(d t) = - 8 x

Passo 1

  1. As equações dadas são:

    2. (d x)/(d t) = 2 y e (d y)/(d t) = - 8 x ... ... . . ( 1 )

    (d y)/(d x) = ((d y)/(d t))/((d x)/(d t))

    = (- 8 x)/(2 y)

    = - (4 x)/(y)

    Portanto, a equação diferencial,

    (d y)/(d x) = - (4 x)/(y)

    Passo 2

    Separando a varável,

    y d y = - 4 x d x

    Integrando ambos os lados, temos:

    int y d y = - int 4 x d x

    (1)/(2) y^2 = - 2 x^2 + c_1

    Temos que int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + c

    2 x^2 + (y^2)/(2) = - c_1

    4 x^2 + y^2 = - 2 c_1

    4 x^2 + y^2 = c

    Portanto, as soluções necessárias são fornecidas por:

    H (x , y) = 4 x^2 + y^2 = c

    Portanto, as trajetórias são elipses.

    Passo 3

  2. Gráficos de várias curvas de nível e a direção das trajetórias para diferentes valores de  c  são apresentados abaixo:

Uma plotagem por computador é útil para exibir as curvas de nível de  H (x , y) = 4 x^2 + y^2 = c , algumas das quais são mostradas acima. A direção do movimento nas trajetórias pode ser determinada desenhando um campo de direção para o sistema fornecido. Observe que existe um ponto espiral na origem.

Resposta

  1. H (x , y) = 4 x^2 + y^2 = c

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9 - (d x)/(d t) = y (2 - x - y) , (d y)/(d t) = - x - y - 2 x y
6 - (d x)/(d t) = 1 + 2 y , (d y)/(d t) = 1 - 3 x^2
8 - (d x)/(d t) = - (2 + y) (x + y) , (d y)/(d t) = - y ( 1 - x )
3 - (d x)/(d t) = - y , (d y)/(d t) = x ; x (0) = 4 , y (0) = 0 e x (0) = 0 , y (0) = 4 .
4 - (d x)/(d t) = a y , (d y)/(d t) = - b x ; a0 , b0 ; x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0 .