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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 11

11 - (d x)/(d t) = - x + 2 x y , (d y)/(d t) = y - x^2 - y^2

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = - x + 2 x y e (d y)/(d t) = y - x^2 - y^2

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

- x + 2 x y

- x (1 - 2 y) = 0

Além disso, considere a equação:

y - x^2 - y^2 = 0

Se o valor de x = 0 , então o valor de y é:

y = 0

y = 1

Se o valor de  x != 0 , em seguida, os valores de  x  e  y  é:

y = (1)/(2)

x = +- (1)/(2)

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (0 , 1) , ((1)/(2) , (1)/(2)) , (- (1)/(2) , (1)/(2))

Passo 2

b)

O gráfico de direção é mostrado abaixo:

O gráfico de direção é mostrado abaixo:

Passo 3

c) Observe o gráfico de direção na parte acima.

O ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e é instável.

O ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela instável.

O ponto crítico  ((1)/(2) , (1)/(2)) é um centro.

Portanto, o ponto crítico  ((1)/(2) , (1)/(2)) é um centro e é assintoticamente estável.

O ponto crítico  (- (1)/(2) , (1)/(2)) é um centro.

Portanto, o ponto crítico  (- (1)/(2) , (1)/(2)) é um centro e é assintoticamente estável.

Passo 4

d) Observe o gráfico de direção na parte acima b.

O ponto crítico assintoticamente estável é ((1)/(2) , (1)/(2))  e  (- (1)/(2) , (1)/(2)) .

Portanto, a bacia de atração de cada ponto crítico ((1)/(2) , (1)/(2))  e  (- (1)/(2) , (1)/(2)) consiste no restante do plano  x y .

Resposta

  1. Os pontos críticos (0,0) , (0,1) , ((1)/(2) , (1)/(2)) , (- (1)/(2) , (1)/(2))
  2. O gráfico de direção é mostrado abaixo:

    3. O gráfico de direção é mostrado abaixo:

  3. O ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela.

    4. Portanto, o ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela instável.

    O ponto crítico  ((1)/(2) , (1)/(2)) é um centro.

    Portanto, o ponto crítico  ((1)/(2) , (1)/(2)) é um centro e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  (- (1)/(2) , (1)/(2)) é um centro.

    Portanto, o ponto crítico  (- (1)/(2) , (1)/(2)) é um centro e é assintoticamente estável.

  4. O ponto crítico assintoticamente estável é ((1)/(2) , (1)/(2))  e  (- (1)/(2) , (1)/(2)) .

Portanto, a bacia de atração de cada ponto crítico ((1)/(2) , (1)/(2))  e  (- (1)/(2) , (1)/(2)) consiste no restante do plano  x y .

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