Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 16
16 -
Passo 1
As equações dadas são:
O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.
Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:
O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.
Agora, para os pontos críticos,
E,
Com temos .
Com , temos a equação como que pode ser resolvida se
Com , temos .
Assim, temos quatro pontos críticos, que são:
Passo 2
b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.
Este é o retrato da fase com o campo de direção e retrato da fase:
Passo 3
c)
Para o ponto crítico, é um ponto de espiral e instável.
Para o ponto crítico, é um ponto de nó e é assintoticamente estável.
Para o ponto crítico temos um ponto espiral e instável.
Passo 4
d) O esboço da bacia de atração é mostrado abaixo:
Na figura, veja a região do plano de fase que contém o ponto de sela e pontos em espiral. Além disso, observe que as trajetórias incluem as trajetórias que entram no
ponto de sela como .
Nessa região; toda trajetória se aproxima do ponto de nó .
Portanto, esta é a bacia de atração para o ponto espiral.
Resposta
- Os pontos críticos são
- O campo de direção é mostrado abaixo:
- Para o ponto crítico, é um ponto de espiral e instável.
- Na figura, veja a região do plano de fase que contém o ponto de sela e pontos em espiral. Além disso, observe que as trajetórias incluem as trajetórias que entram no
Para o ponto crítico, é um ponto de nó e é assintoticamente estável.
Para o ponto crítico temos um ponto espiral e instável.
ponto de nó como .
Nessa região; toda trajetória se aproxima do ponto de nó .
Portanto, esta é a bacia de atração para o ponto espiral.