Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f(x) e números L, x0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x₀ em que a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira. DÊ então um valor de δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < | x - x0 | < δ , a desigualdade | f(x) - L | < ε seja verdadeira.

f(x) = raiz(x + 1), L = 1, x_0 = 0, ϵ = 0, 1

Passo 1

Vamos ver quais os valores que x precisa assumir para que a desigualdade f x - L < ϵ seja satisfeita:

f x - L = x + 1 - ( 1 )

Logo,

x + 1 - ( 1 ) < 0 , 1

Passo 2

Temos a seguinte propriedade do módulo:

a < b → - b < a < b

Logo no nosso caso

x + 1 - ( 1 ) < 0 , 1 → - 0 , 1 < x + 1 - ( 1 ) < 0 , 1

Portanto,

- 0 , 1 + 1 < x + 1 - 1 + 1 < 0,01 + 1 → - 0,9 < x + 1 < 1,1

0,81 < x + 1 < 1,21 → - 0,19 < x < 0,21

Passo 3

Agora vamos ver o valor de δ que satisfaz x - x 0 < δ . Antes de mais nada no nosso caso temos x 0 = 0 , logo

x < δ

Pela propriedade do módulo que eu mostrei acima, temos que

- δ < x < δ

Passo 4

Agora qual o intervalo dos valores de x que satisfaz f x - L < ϵ ? Isso mesmo, o intervalo descoberto no passo 2 ( - 0,19 < x < 0,21 ) !

Então o intervalo do passo 3 tem que coincidir com o do passo 2, ou seja

- δ = - 0,19 → δ = 0 , 19

Ou

δ = 0,21

Ficaremos sempre com o menor valor para δ !

Resposta

δ = 0 , 19

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