Prove o Teorema de Limite 7 aplicando o Teorema de Limite 6 e usando a indução matemática.

Passo 1

Teorema de Limite 6: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 e lim x → a ⁡ f 2 x = L 2

Então

lim x → a [ ⁡ f 1 x . f 2 ( x ) ] = lim x → a ⁡ f 1 x . lim x → a ⁡ f 2 x = L 1 . L 2

Teorema de Limite 7: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 ,   lim x → a ⁡ f 2 x = L 2 ,   ,   … ,   e   lim x → a ⁡ f n x = L n

Então

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x . … . f n x ] = L 1 . L 2 . … . L n

Sendo assim, queremos provar o Teorema 7 usando para isso o Teorema 6.

Passo 2

Para começar, devemos notar que em 6 temos n = 2 , enquanto que para 7 temos n = k .

Nós desejamos provar que o Teorema 7 se mantem quando n = k + 1 . Então, pelo Teorema 6:

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . f k + 1 x = lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . l i m x → a f k + 1 x

Assumindo que:

l i m x → a f k + 1 x = L k + 1

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . l i m x → a f k + 1 x = L 1 L 2 … L k . L k + 1

Concluindo, o Teorema 7 é válido para qualquer valor de n inteiro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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