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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 64

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

64-

y ' = x - 1 2 ( 2 x + 3 )

Passo 1

Fazendo y ' = 0 para achar os pontos críticos temos:

x - 1 2 2 x + 3 = 0

Logo para essa expressão ser 0 ou x - 1 2 = 0 ou 2 x + 3 = 0

Então temos:

x = 1

x = - 3 2

Passo 2

Fazendo a derivada segunda a partir da primeira com a intenção de calcular os pontos de máximo e mínimo nós encontramos:

y ' ' = ( x - 1 2 ) '   ( 2 x + 3 ) + x - 1 2 ( 2 x + 3 ) '

Fazendo a regra do produto:

y ' ' = 2 x - 1 2 x + 3 + 2 x - 1 2

y ' ' = 2 x - 1 [ 2 x + 3 + x - 1 ]

y ' ' = 2 ( x - 1 ) ( 3 x + 2 )

Passo 3

Substituindo os pontos críticos encontrados na derivada segunda temos:

y ' ' 1 = 2 1 - 1 3 + 2 = 0

Logo nada podemos afirmar para o ponto que representa x = 1

Para x = - 3 2

y ' ' 3 2 = 2 - 3 2 - 1 3 × - 3 2 + 2 = 2 × - 5 2 × - 5 2 → p o s i t i v o

Logo x = - 3 2 representa um ponto que é mínimo local

Agora verificando os pontos de inflexão temos:

2 x - 1 3 x + 2 = 0

Como visto anteriormente temos um zero em x=1, porém também temos um zero e certamente uma inflexão em x = - 2 3 .

Passo 4

Organizando nossos intervalos temos:

Pontos de Teste: -2, -1, 0, 2

Resposta

y ' ' = 2 ( x - 1 ) ( 3 x + 2 )

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