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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 51

Nos Exercícios ∫ e t . s e c 3 ( e t - 1 )     d t , calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais. Mas primeiramente vamos usar o método da substituição

Passo 2

Fazendo a substituição teremos:

∫ e t . s e c 3 ( e t - 1 )     d t

u = ( e t - 1 )

d u = ( e t - 1 ) ' d t

d u = e t   d t

∫ e t . s e c 3 ( e t - 1 )     d t = ∫ s e c 3 u     d u

Agora pra continuar desenvolvendo usaremos a fórmula abaixo:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

Subtituindo:

∫ s e c 3 u   d u = s e c 3 - 2 u .   t g   u ( 3 - 1 )   + 3 - 2 3 - 1 ∫ s e c 3 - 2 u d u

= s e c   u .   t g   u 2   + 1 2 ∫ s e c   u d u

Agora usaremos a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ s e c   x d x =   l n   s e c   x + t g   x

Substituindo:

= s e c   u .   t g   u 2   + 1 2   l n   s e c   u + t g   u

Passo 3

Por último precisamos substituir u = ( e t - 1 ) :

= s e c   u .   t g   u 2   + 1 2   l n   s e c   u + t g   u

= s e c   ( e t - 1 ) .   t g   ( e t - 1 ) 2   + l n   s e c   ( e t - 1 ) + t g   ( e t - 1 ) 2

Resposta

∫ e t . s e c 3 ( e t - 1 )     d t = s e c   ( e t - 1 ) .   t g   ( e t - 1 ) 2   + l n   s e c   ( e t - 1 ) + t g   ( e t - 1 ) 2

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No Exercício ∫ 5 - 4 x + xd x , utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.