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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 62

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

62-

y ' = x 2 ( 2 - x )

Passo 1

Fazendo y ' = 0 temos os seguintes pontos críticos:

x 2 2 - x = 0

Ou x 2 = 0 ou 2 - x = 0   :

x = 0

x = 2

Passo 2

Fazendo a derivada segunda a partir da primeira temos a seguinte regra do produto:

y ' ' = x 2 ' 2 - x + ( x 2 ) ( 2 - x ) '

y ' ' = 2 x 2 - x + ( x 2 ) ( - 1 )

y ' ' = 4 x - 2 x 2 - x 2

y ' ' = - 3 x 2 + 4 x

Fazendo os testes para as funções que encontramos temos:

Para x = 0 :

y ' ' 0 = 0

Logo não podemos afirmar se x=0 representa um ponto com singularidade, inflexão, máximo ou mínimo.

Para x = 2

y ' ' 2 = - 3 × 2 2 + 4 × 2 = - 4 → n e g a t i v o

Logo x = 2 representa um ponto de máximo com concavidade para baixo.

Pontos de inflexão:

y ' ' = 0

- 3 x 2 + 4 x = 0

Como vimos x = 0 , é um possível ponto, agora cortando x da equação pois x será diferente de zero temos:

- 3 x + 4 = 0

x = 4 3

Passo 3

Organizando os intervalos com os pontos que nós temos:

Pontos de Teste: -1, 1, 1.5, 3

Resposta

y ' ' = - 3 x 2 + 4 x

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