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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 70

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

70-

y ' = c o s s e c 2 θ 2

0 < θ < 2 π

Passo 1

Fazendo y ' = 0 para ver seus pontos críticos temos:

c o s s e c 2 θ 2 = 0  

1 sin 2 ⁡ θ 2 = 0

Como o numerador é o uma constante logo não temos pontos de máximo e mínimo, somente os pontos que não tem valor fixo como que são 0 e 2 π .

Passo 2

Fazendo a segunda derivada então para verificar os pontos de inflexão. Então nós temos:

y ' ' = 1 sin 2 ⁡ θ 2     ' = 1 ' ( sin 2 ⁡ θ 2 ) - 1 ( sin 2 ⁡ θ 2 ) '   sin 4 ⁡ θ 2 = - 2 sin ⁡ θ 2 × cos ⁡ θ 2 × 1 2 sin 4 ⁡ θ 2 = - cos ⁡ θ 2 sin 3 ⁡ θ 2

y ' ' = - c o t g θ 2 × c o s s e c 2 θ 2

Fazendo y ' ' = 0 para encontrarmos os pontos de inflexão nós temos:

- cos ⁡ θ 2 sin 3 ⁡ θ 2 = 0

- cos ⁡ θ 2 = 0

θ 2 = π 2 + k π

Como o intervalo de θ é entre 0 e 2 π , θ = π é um ponto de inflexão.

Passo 3

Organizando os intervalos que temos:

Pontos de teste para θ : π 2 , 3 π 2

Resposta

y ' ' = - c o t g θ 2 × c o s s e c 2 θ 2

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