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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 77

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

77-

y ' = x - 2 3 x - 1

Passo 1

Escrevendo a equação de y ' de outra forma nós teríamos:

y ' = x - 1 x 2 3

Então fazendo y ' = 0 para encontrar-mos os pontos críticos da função nós encontramos:

x = 1

Além de termos um crescimento muito grande em x = 0 . Deverá ser um ponto a ser analisado.

Passo 2

Fazendo a segunda derivada da função para podermos testar os pontos que encontramos e verificar-mos os pontos de inflexão.

y ' ' = x - 1 ' x 2 3 - x - 1 x 2 3 ' x 4 3

y ' ' = 1 x 2 3 - x - 1 2 3 x - 1 3 x 4 3

y ' ' = x 2 3 - 2 3 x 2 3 + 2 3 x - 1 3 x 4 3

y ' ' = 1 3 x 2 3 + 2 3 x - 1 3 x 4 3

O que nos dá:

y ' ' = 1 3 x - 2 3 + 2 3 x - 5 3 = 1 3 x - 5 3 ( x + 2 )

Passo 3

Se analisarmos y ' ' vemos que ela possui um ponto de inflexão em x = - 2 . Pois com esse valor ela dará 0. E que ela pode ter uma mudança brusca de concavidade em x = 0 ,pois seu denominador poderá tender a 0.

Testando o ponto que encontramos no passo 1, que é x = 1 temos:

y ' ' 1 = 1 3 × 1 - 5 3 1 + 2 = 1 → p o s i t i v o

Logo x = 1 representa um ponto de mínimo local.

Passo 4

Organizando nossos intervalos temos:

Pontos de teste: -3. -1. 0.5, 2

Logo x = 0 é um ponto de inflexão

Resposta

y ' ' = 1 3 x - 2 3 + 2 3 x - 5 3 = 1 3 x - 5 3 ( x + 2 )

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