Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 42
Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:
Passo 1
A assíntota vertical é o valor de que ao tomarmos o limite ele vai para ou para .
Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.
Quem são eles?
Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.
Nesse caso
Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter
Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular
E
Depois devemos fazer
E
Passo 2
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.
A primeira coisa que devemos fazer é fatorar aquele denominador. Aproveitando que já sabemos as raízes dessa expressão de grau.
Nossa fração vai ficar
Pela direita, significa pegar valores maiores que , logo que é , vai assumir valores maiores que , sendo positivo. Além disso, vai ser um termo negativo, porque o assume valores próximos de e .
O denominador assim vai ser negativo.
E isso nos diz que
Passo 3
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.
Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar
Pela esquerda, significa pegar valores menores que , logo que é , vai assumir valores menores que , sendo negativo. Além disso, vai ser um termo negativo, porque o assume valores próximos de e .
O denominador assim vai ser positivo.
E isso nos diz que
Passo 4
Agora para os valores de
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela direita.
Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar
Pela direita, significa pegar valores maiores que , logo que é , vai assumir valores maiores que , sendo positivo. Além disso, vai ser um termo positivo, porque assume valores próximos de e .
O denominador assim vai ser positivo.
E isso nos diz que
Passo 5
Começando com
Que vai ser
Opa, deu um número sobre . Então esse limite vai para ou para . Basta olharmos o sinal de próximo de , neste caso, pela esquerda.
Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar
Pela esquerda, significa pegar valores menores que , logo que é , vai assumir valores menores que , sendo negativo. Além disso, vai ser um termo positivo, porque assume valores próximos de e .
O denominador assim vai ser negativo.
E isso nos diz que
Passo 6
Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs
Temos que
E
São assíntotas verticais.
Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.
O esboço vai ficar
Resposta
Assíntotas verticais:
