Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 58
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
Passo 1
Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.
- Determinar a derivada da função.
- Fazer e depois encontrar os valores de para os quais não existe.
- Achar os valores de que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
- Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
- Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.
Vamo devagarinho que dá bom!
Passo 2
Repare que essa função é bem parecida com a função do exercício anterior! Vamos começar pela derivada dela:
Passo 3
A nossa derivada não se iguala a em momento algum, mas ela não existe para , então teremos um valor extremo em . Perceba que a derivada é positiva para valores de e fica negativa para . Ou seja, a função está crescendo até e depois disso ela começa a cair. Então é um máximo absoluto!
Passo 4
Além disso, não temos mais nenhum ponto onde a derivada se anula ou não existe, o que implica que o mínimo absoluto está e algum dos valores da borda do intervalo .
Vamos fazer e .
E
Como , o mínimo absoluto é em
Passo 5
Para esboçar o gráfico vamos utilizar as informações que temos sobre a derivada da função e os valores extremos também. Sabemos que a função começa em seu menor valor em e é crescente até e depois só cai até o ponto .
Resposta
Mín. absoluto:
Máx. absoluto: