Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 58

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

Determinar a derivada da função.
Fazer e depois encontrar os valores de para os quais não existe.
Achar os valores de que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Repare que essa função é bem parecida com a função do exercício anterior! Vamos começar pela derivada dela:

Passo 3

A nossa derivada não se iguala a em momento algum, mas ela não existe para , então teremos um valor extremo em . Perceba que a derivada é positiva para valores de e fica negativa para . Ou seja, a função está crescendo até e depois disso ela começa a cair. Então é um máximo absoluto!

Passo 4

Além disso, não temos mais nenhum ponto onde a derivada se anula ou não existe, o que implica que o mínimo absoluto está e algum dos valores da borda do intervalo .

Vamos fazer e .

Como , o mínimo absoluto é em

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos utilizar as informações que temos sobre a derivada da função e os valores extremos também. Sabemos que a função começa em seu menor valor em e é crescente até e depois só cai até o ponto .