Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

g x = 1 - x - 3 2 3 ; - 5 ,   4

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Repare que essa função é bem parecida com a função do exercício anterior! Vamos começar pela derivada dela:

d g d x = d d x 1 - x - 3 2 3

d g d x = - 2 3 x - 3 1 3

Passo 3

A nossa derivada não se iguala a 0 em momento algum, mas ela não existe para x = 3 , então teremos um valor extremo em x = 3 . Perceba que a derivada é positiva para valores de x < 3 e fica negativa para x > 3 . Ou seja, a função está crescendo até x = 3 e depois disso ela começa a cair. Então 3 ,   g 3 é um máximo absoluto!

g 3 = 1 - x - 3 2 3 = 1

Passo 4

Além disso, não temos mais nenhum ponto onde a derivada se anula ou não existe, o que implica que o mínimo absoluto está e algum dos valores da borda do intervalo - 5 ,   4 .

Vamos fazer g ( - 5 ) e g ( 4 ) .

g - 5 = 1 - - 5 - 3 2 3 = 1 - 64 3 = - 3

E

g 4 = 1 - 4 - 3 2 3 = 0

Como - 3 < 0 , o mínimo absoluto é em - 5 ,   - 3 .

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos utilizar as informações que temos sobre a derivada da função e os valores extremos também. Sabemos que a função começa em seu menor valor em - 5 ,   - 3 e é crescente até 3 ,   1 e depois só cai até o ponto 4 ,   0 .

Resposta

Mín. absoluto: - 5 ,   - 3

Máx. absoluto: 3 ,   1

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