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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.3 - Ex. 29

Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

∫ 0 3 2 π x 5 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😬

Nesse problema foi dada uma integral definida e nosso objetivo é basicamente descrever o volume do solido que é formado por ela.

Parece complicado? 👀

Primeiro vamos reescrever a nossa integral da seguinte maneira

∫ 0 3 2 π x 5 d x = 2 π ∫ 0 3 x ( x 4 ) d x

Essa disposição da integral te lembra alguma coisa? Nenhum método de integral de revolução?

Veja só! 😉

Passo 2

Podemos perceber que o sólido é obtido pela rotação da região 0 ≤ y ≤ x 4 , 0 ≤ x ≤ 3 sobre o eixo y usando cascas cilíndricas.

Isso porque para cada valor de x no intervalo 0,3 , estamos multiplicando 2 π x que faz papel do comprimento de circunferência vezes x 4 que faz o papel da altura.

Ao somar (no caso, integrar) tudo isso temos a rotação da curva 0 ≤ y ≤ x 4 no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 em torno do eixo y .

Portanto, o volume gerado pela integral do enunciado é o volume do solido de revolução limitado pela area entre y = x 4 e y = 0 com x variando entre 0 e 3 .

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

O volume gerado pela integral do enunciado é o volume do solido de revolução limitado pela area entre y = x 4 e y = 0 com x variando entre 0 e 3 .

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