Enunciado

Para cada um dos números a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   r ,   s ,   t , estabeleça se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou nem máximo nem mínimo.

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Essa questão dá pra gente o seguinte gráfico

E pede pra gente, para cada um dos números a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   r ,   s ,   t , estabelecer se a função tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou nem máximo nem mínimo.

Antes de ir direto para essa resolução vamos lembrar que:

O mínimo absoluto é o menor valor da função dentro do intervalo e o máximo absoluto é o maior valor.

Já máximos ou mínimos locais ocorrem quando a função tem um “pico” ou “vales”.

Devemos lembrar que um número pode ser um máximo/mínimo local e não ser absoluto, e também pode ser máximo/mínimo absoluto mas não ser local (quando está nos extremos do intervalo).

Passo 2

Para cada número, vamos definir então qual o tipo de ponto é.

Número a :

Não é um máximo local pois não há como comparar o lado esquerdo do ponto, já que ele está no limite do intervalo. Então não é máximo nem mínimo.

Passo 3

Número b :

Os valores da função na esquerda próxima de b são maiores que f ( b ) , e no lado direito são iguais. Podemos dizer então que temos aí um mínimo local.

Passo 4

Número c :

Se pegarmos um intervalo contendo c que passe do número b pela esquerda e passe do número d pela direita, vemos que todos os valores da função no intervalo são menores que f ( c ) , então temos um mínimo local. Note que temos mínimos locais em todo o intervalo ( b ,   d ) .

Passo 5

Número d :

Pelos mesmos motivos dos pontos b e c , temos um mínimo local.

Passo 6

Número e :

Os valores da função na esquerda e na direita próximos de e são menores que f ( e ) , então temos um máximo local. Além disso, temos o ponto mais alto da função, então temos também o máximo absoluto.

Passo 7

Número r :

Os valores da função na esquerda e na direita próximos de r são maiores que f ( r ) , então temos um mínimo local.

Passo 8

Número s :

Os valores da função na esquerda e na direita próximos de s são menores que f ( s ) , então temos um máximo local.

Passo 9

Número t :

Não é um mínimo local pois está no extremo do intervalo. Mas é o menor valor da função, então é o mínimo absoluto.

Resposta

a: Nem máximo nem mínimo

b: Mínimo local

c: Mínimo local

d: Mínimo local

e: Máximo local e absoluto

r: Mínimo local

s: Máximo local

t: Mínimo absoluto

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