O gráfico da primeira derivada de uma função está mostrado.

(a) Em que intervalos está crescendo? Explique.

(b) Em que valores de a função tem um mínimo ou máximo local? Explique.

(c) Em que intervalos é côncava para cima ou para baixo? Explique.

(d) Quais são as coordenadas dos pontos de inflexão de ? Por quê?

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão, temos o gráfico da derivada de uma função.

A derivada é assim ó:

Na letra a), a partir do gráfico temos que encontrar os intervalos em que está crescendo.

Isso vai ocorrer nos intervalos em que a derivada for positiva, o que indica uma inclinação positiva na função e portanto que a função cresce nesses intervalos.

Na letra b) queremos os pontos de máximo ou mínimo local.

Para isso, basta olharmos para quando a derivada é zero.

Esse é um ponto crítico.Ele será um ponto de máximo, caso a derivada antes dele seja positiva e depois negativa (pois assim a função crescia, chegou no máximo e depois passou a decrescer) e ele será um ponto de mínimo, caso a derivada antes dele seja negativa e depois positiva (pois assim a função diminuía, chegou no mínimo e depois passou a crescer).

Já na letra c), queremos saber sobre os intervalos de concavidade para cima e para baixo.

Sabemos que a função é côncava para cima quando

E é côncava para baixo quando

Para isso, vamos ter que olhar para a derivada da derivada (a segunda derivada).

Aqui nós só temos o gráfico da derivada, portanto, não tem como derivar uma expressão numérica para chegar na segunda derivada.

Mas olhando para o gráfico, sabemos como é a segunda derivada.

Quando o gráfico da derivada cresce, isso indica que a segunda derivada é positiva e, portanto, a concavidade é para cima.

E quando o gráfico da derivada decresce, isso indica que a segunda derivada é negativa e, portanto, a concavidade é para baixo.

Por fim, na letra d), temos que indicar os pontos de inflexão.

Eles ocorrem quando

Nesse caso, vamos olhar pro gráfico da derivada e ver quando sua inclinação é zero (a função nem cresce nem decresce), isso indica que a segunda derivada é nula.

Bora lá