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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 38

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas integrais que são convergentes.

∫ 0 2 x - 3 2 x - 3   d x

Passo 1

Vamos começar resolvendo a integral indefinida:

I = ∫ x - 3 2 x - 3   d x

Para deixar o numerador e o denominador mais parecidos, vamos multiplicar e dividir por 2 :

I = 1 2 ∫ 2 x - 6 2 x - 3   d x

E agora vamos reescrever - 6 = - 3 - 3 , então:

I = 1 2 ∫ 2 x - 3 - 3 2 x - 3   d x = 1 2 ∫ 2 x - 3 2 x - 3 - 3 2 x - 3 d x

I = 1 2 ∫ 1 - 3 2 x - 3 d x

I = x 2 - 3 4 ln ⁡ 2 x - 3 + C

Passo 2

O logaritmo é uma função perigosa para convergência de uma integral, pois ele tende ao infinito se o seu argumento tende a zero.

Existe algum ponto como esse no nosso intervalo?

∫ 0 2 x - 3 2 x - 3   d x = ∫ 0 3 / 2 x - 3 2 x - 3   d x + ∫ 0 3 / 2 x - 3 2 x - 3   d x

Quando x = 3 / 2 , vai aparecer o seguinte termo na nossa integral:

lim x → 3 / 2 ⁡ ln ⁡ 2 x - 3 = lim u → 0 ⁡ ln ⁡ u

E esse termo não converge. Ou seja, a integral do enunciado não converge.

Resposta

A integral diverge.

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Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x x d x ; u = x [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 converge a 3 .
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 + ∞ d x x x + 1