Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 32

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 0 1 d x 1 - x 2

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 1 d x 1 - x 2

A função dentro da integral é descontinua no ponto x = 1 , então a gente vai pegar o limite se aproximando pela direita:

lim b → 1 - ⁡ ∫ 0 b d x 1 - x 2

Passo 2

Beleza, a gente já deve saber que por definição essa integral é:

∫ d x 1 - x 2 = arcsin ⁡ ( x ) + C

Se precisar de uma ajudinha para relembrar de umas dessas definições em uns resumos aqui mesmo no Responde Aí.

Continuando, então nossa integral vai ser:

lim b → 1 - ⁡ ∫ 0 b d x 1 - x 2 = lim b → 1 - ⁡ arcsin ⁡ x + C 0 b

Passo 3

Show de bola, agora a gente vai pro nosso limite:

lim b → 1 - ⁡ arcsin ⁡ x + C 0 b

= arcsin ⁡ 1 + C - ( arcsin ⁡ 0 + C )

= arcsin ⁡ 1 - arcsin ⁡ 0 = π 2 - 0

= π 2

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral converge para π 2 .

Resposta

Converge para π 2

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