Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 53
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos tentar achar uma função mais simples que seja sempre menor do que a do enunciado no intervalo :
Perceba que nesse intervalo, a função seno está sempre entre e . Isso quer dizer que o denominador vai ser sempre menor ou igual a .
Um denominador menor faz com que a função cresça, então:
Passo 2
Beleza, vamos avaliar a integral dessa função menor:
A integral indefinida é . Vamos subtituir os limites de integração:
O logaritmo tende ao infinito quando tende a zero. Então essa função não converge.
Pelo teorema da comparação, se essa função não converge, as funções que são maiores do que ela nesse intervalo também não convergem.
Ou seja, a integral do enunciado diverge.
Resposta
A integral diverge.