Em cada parte, determine os valores de x com os quais F ( x ) é positiva, negativa ou zero, sem efetuar a integração. Explique seu raciocínio.

(a) F x = ∫ 1 x t 4 t 2 + 3 d t

(b) F x = ∫ - 1 x 4 - t 2 d t

Passo 1

Para cada caso, começamos aplicando o Teorema fundamental do calculo. Assim, para a letra (a), temos:

F ' ( x ) = ∫ 1 x t 4 t 2 + 3 d t = x 4 x 2 + 3

Como o intervalo de integração dado é de [ 1 , x ] , temos portanto que F ( x ) será zero quando x = 1 , positiva se x > 1 e negativa se x < 1 .

Passo 2

Para o item (b), fazemos o mesmo:

F ' ( x ) = ∫ - 1 x 4 - t 2 d t = 4 - x 2

Encontrando o zero da função, temos:

4 - x 2 = 0       ∴     x ' = - 2       e   x ' ' =   2

Como o intervalo de integração dado é de [ - 1 , x ] , temos portanto que F ( x ) será zero quando x = - 1 , positiva se - 1 < x ≤ 2 e negativa se - 2 ≤ x ≤ - 1 .

Resposta

(a)   F ( x ) será zero quando x = 1 , positiva se x > 1 e negativa se x < 1 .

(b)   F ( x ) será zero quando x = - 1 , positiva se - 1 < x ≤ 2 e negativa se - 2 ≤ x ≤ - 1 .

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