Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ 1 1 / a 1 t d t = - ∫ 1 a 1 t d t , com 0 < a

Passo 1

Para determinar se a equação é verdadeira ou não, podemos resolver a integral dos dois lados e ver se os resultados batem:

∫ 1 1 a 1 t d t = - ∫ 1 a 1 t d t

Então, vamos resolver a integral da direita primeiro:

∫ 1 1 a 1 t d t = ln ⁡ t 1 1 a = ln ⁡ 1 a - ln ⁡ 1

∫ 1 1 a 1 t d t = ln ⁡ 1 - ln ⁡ a - ln ⁡ 1

∫ 1 1 a 1 t d t = - ln ⁡ a

Passo 2

Agora, vamos calcular a outra integral:

- ∫ 1 a 1 t d t = - ln ⁡ t 1 a = - ln ⁡ a + ln ⁡ 1

- ∫ 1 a 1 t d t = - ln ⁡ a

Opa, tudo certo, os resultados bateram!! Então, a equação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira. Cálculos no passo a passo.

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