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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 24

Mostre que:

(a) (d)/(d y) (int_x^a f ( t ) d t) = - f ( x )

(b) (d)/(d y) (int_(g ( x ))^a f ( t ) d t) = - f (g (x)) g ' ( x )

Passo 1

(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

(d)/(d x) (int_a^(g (x)) f (t) d t) = f (g (x)) g ' ( x )

Só que podemos inverter os limites de integração, multiplicando a inegral por - 1 :

(d)/(d y) (int_x^a f ( t ) d t) = (d)/(d y) (- int_a^x f ( t ) d t)

:.

(d)/(d y) (int_x^a f ( t ) d t) = - (d)/(d y) (int_a^x f ( t ) d t)

Então:

- (d)/(d y) (int_a^x f (t) d t) = - f (x) (x)^' = - f ( x )

Passo 2

(b) Vamos usar o Teorema Fundamental do Cáclulo de novo:

(d)/(d y) (int_(g ( x ))^a f ( t ) d t) = - (d)/(d y) (int_a^(g ( x )) f ( t ) d t)

Com isso:

- (d)/(d y) (int_a^(g (x)) f (t) d t) = - f (g (x)) g^' (x)

Resposta

Provado no passo a passo.

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