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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 40

Em cada parte esboce uma curva contínua y = f x com as propriedades indicadas.

  1. f 2 = 4 , f ' 2 = 0 , f ' ' x < 0 com qualquer x
  2. f 2 = 4 , f ' 2 = 0 , f ' ' x > 0 com x < 2 , f ' ' x < 0 com x > 2
  3. f 2 = 4 , f ' ' x > 0 com x ≠ 2 e lim x → 2 ⁺ ⁡ f ' x = - ∞ , lim x → 2 ⁻ ⁡ f ' x = + ∞

Passo 1

  1. Com as propriedades da letra (a) podemos usar f x = - x 2 + 4 x :

    2. Vamos calcular f 2 , f ' 2 e f ' ' x e ver se obtemos o que é pedido:

    f 2 = - 2 2 + 4 ⋅ 2 = - 4 + 8 = 4

    Agora encontrando a primeira derivada:

    f ' x = - 2 x 2 - 1 + 4 = - 2 x + 4

    Achando f ' 2 :

    f ' 2 = - 2 ⋅ 2 + 4 = - 4 + 4 = 0

    E achando f ' ' x :

    f ' ' x = - 2 + 0 = - 2 < 0

    Pronto, esboçamos a curva com as propriedades indicadas.

    Passo 2

  2. Com as propriedades da letra (b) podemos usar f x = - x - 2 3 + 4 :

    3. Vamos calcular f 2 , f ' 2 e f ' ' x e ver se obtemos o que é pedido:

    f 2 = - 2 - 2 3 + 4 = - 0 3 + 4 = 4

    Agora encontrando a primeira derivada:

    f ' x = - 3 x - 2 3 - 1 1 - 0 + 0 = - 3 x - 2 2

    Achando f ' 2 :

    f ' 2 = - 3 2 - 2 2 = 0

    E achando f ' ' x :

    f ' ' x = - 3 ⋅ 2 ⋅ x - 2 2 - 1 = - 6 x - 2 = - 6 x + 12

    Agora vamos ver onde f ' ' x é positiva e negativa igualando a zero e avaliando os sinais:

    f ' ' x = 0 → - 6 x + 1 2 = 0 → x = 2

    Analisando os sinais:

    Temos então que f ' ' x > 0 com x < 2 , f ' ' x > 0 com x < 2 .

    Pronto, esboçamos a curva com as propriedades indicadas.

    Passo 3

  3. Com as propriedades da letra (c) podemos usar f x = - x - 2 + 4 :

Vamos calcular f 2 e f ' ' x e os limites para ver se obtemos o que é pedido:

f 2 = - 2 - 2 + 4 = - 0 + 4 = 4

Agora encontrando a primeira derivada:

Aqui temos que analisar melhora a função, porque uma função com módulo é da forma:

x - 2 = x - 2   s e   x ≥ 2 - x - 2   s e   x < 2

Então para x ≥ 2 temos:

f ' x = - x - 2 + 4 ' = - x - 2 1 2 + 4 ' = - 1 2 x - 2 1 2 - 1 1 - 0 + 0 =

= - 1 2 x - 2 - 1 2 = - 1 2 x - 2

E para x < 2 temos:

f ' x = - - x - 2 + 4 ' = - - x + 2 1 2 + 4 ' = - 1 2 - x + 2 1 2 - 1 - 1 + 0 + 0 =

= 1 2 - x + 2 - 1 2 = 1 2 - x + 2

E achando f ' ' x :

Para x ≥ 2 temos:

f ' ' x = - 1 2 x - 2 ' = - 1 2 x - 2 - 1 2 ' = - 1 2 ⋅ - 1 2 x - 2 - 1 2 - 1 1 - 0 =

= 1 4 x - 2 - 3 2 = 1 4 x - 2 3

E para x < 2 temos:

f ' ' x = 1 2 - x + 2 ' = 1 2 - x + 2 - 1 2 ' = 1 2 ⋅ - 1 2 - x + 2 - 1 2 - 1 - 1 + 0 =

= 1 4 - x + 2 - 3 2 = 1 4 - x + 2 3

Analisando os sinais temos que para x ≠ 2 f ' ' x > 0 .

Agora vamos ver os limites:

lim x → 2 ⁺ ⁡ f ' x = lim x → 2 ⁺ ⁡ - 1 2 x - 2 = - ∞

lim x → 2 ⁻ ⁡ f ' x = lim x → 2 ⁻ ⁡ 1 2 - x + 2 = + ∞

Pronto, esboçamos a curva com as propriedades indicadas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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