Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 8
Em cada um dos problemas de 7 a 10, suponha que todos os autovalores são reais.
(a) Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.
(b) Determine se é um autovalor.
(c) Encontre valores aproximados para e , os dois autovalores não nulos de menor módulo.
(d) Estime para valores grandes de n.
Passo 1
Assim como na questão passada a solução para será:
Então aplicando a condição de contorno para esse caso nós teremos
Então como não temos nenhuma solução a não ser a trivial então não é um autovalor.
Passo 2
E para a solução será igual a:
E a equação de será:
E se aplicarmos as condições de contorno nós vamos obter:
Portanto a autofunção será igual a:
Agora aplicando a segunda condição de contorno sabendo que nós teremos:
Dessa forma:
Passo 3
Para encontrar os dois valores de precisamos plotar os dois gráficos e comparar.
Plotando:
E
Com isso encontramos:
Passo 4
Outros valores para são:
E uma boa aproximação será: