A equação

u t t + c u t + k u = α 2 u x x + F ( x , t )

Em que a 2 > 0 ,   c ≥ 0   e k ≥ 0 são constantes, é conhecida como a equação do telégrafo. Ela aparece no estudo de uma corda elástica sob tensão (veja o Apêndice B do Capítulo 10 ). A Eq ( i ) também ocorre em outras aplicações. Supondo que F ( x ,   t )   =   0 , seja μ ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) , separe as variáveis na Eq. ( i ) e deduza equações diferenciais ordinárias para X e T

Passo 1

A equação no enunciado está esquisita mas é como se tivéssemos:

u t t + c u t + k u = α 2 u x x + F ( x , t )

E

u x , t = X ( x ) T ( t )

Só digitar por equação do telégrafo que veremos coisas parecidas.

Então nossos coeficientes ficam:

u t t = X T ¨

u t = X T   ˙

u x x = X ' ' T

Derivada no tempo prefiro representar com ponto em cima e derivada em x com traços. Mas é só preciosismo meu mesmo.

Nos deixando então com a seguinte expressão:

X T ¨ + c X T   ˙ + k X T = α 2 X ' ' T

X T ¨ + c T   ˙ + k T = α 2 X ' ' T

O que também pode ser escrito como:

1 T α 2 T ¨ + c T   ˙ + k T = X ' ' X

Passo 2

E aqui já podemos separar X de T ao chamar X ' ' X = - λ tal como foi feito na parte ( 12 ) na terceira página dessa seção pois assim podemos escrever a equação ordinária de X da seguinte forma:

X ' ' = - λ X

X ' ' + λ X = 0

E

1 T α 2 T ¨ + c T   ˙ + k T = - λ

T ¨ + c T   ˙ + k T = - λ T α 2

T ¨ + c T   ˙ + k + λ α 2 T = 0

Resposta

X ' ' + λ X = 0

T ¨ + c T   ˙ + k + λ α 2 T = 0

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