Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 9
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
Passo 1
Nesse caso, temos uma EDO linear não homogênea de segunda ordem e que possui a forma:
A solução geral pode ser escrita como :
Onde é a parte homogênea e pode ser calculada por:
O primeiro passo para resolver os problemas de valores de contorno, precisamos encontrar a equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:
A equação polinomial característica pode ser dada por:
As raízes de serão:
E a solução geral será dada por:
A outra parte será a não homogênea, onde é a solução particular.
Passo 2
Primeiro faremos a parte homogênea da solução.
Aplicando com os valores fornecidos pelo problema, temos que:
Vamos encontrar a equação característica se :
A solução geral pode ser dada por:
Vamos aplicar o método do coeficiente indeterminado (já que não devemos esquecer do ):
A solução passa a ser:
Aplicando o primeiro termo inicial, temos que :
A outra condição diz que . Substituindo a condição :
Então:
Soluções válidas para todo .