Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

14. y^4 - 4y''' + 4y'' = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

  y 4 - 4 y ' ' ' + 4 y ' ' = 0   →

r 4 - 4 r 3 + 4 r 2 = 0

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 2 r 2 - 4 r + 4 = 0

Logo, para r 2 = 0 , temos duas raízes iguais...

r 2 = 0   →         r 1 = 0       e       r 2 = 0

Já caso r 2 - 4 r + 4 = 0 ...

r 2 - 4 r + 4 = 0    

Por soma e produto...

r 3 = 2         e           r 4 = 2

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 0 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = 1

  • Para r 2 = r 1 = 0 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...
  • y 2 = t e r 2 t = t

  • Para r 3 = 2 como ele é real...
  • y 3 = e r 3 t = e 2 t

  • Para r 4 = r 3 = 2 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

y 2 = t e r 4 t = t e 2 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 3 y 4   →

y = c 1 + c 2 t + c 3 e 2 t + c 4 t e 2 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 + c 2 t + c 3 e 2 t + c 4 t e 2 t

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