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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 7 a 10 , siga o procedimento ilustrado no exemplo 4 para determinar as raízes indicadas do número complexo dado.

7. 1 1 / 3

Passo 1

No exemplo 4 , estávamos interessados em encontrar as raízes da equação:

r 4 + 1 = 0

Onde r é um número complexo! Vimos que as raízes dele são dadas por:

r = - 1 1 4

E aí descobrimos que podemos encontrar qualquer raiz complexa como essa daí usando a notação de Euler para os números complexos onde podemos pegar qualquer número complexo na sua forma polar e transformar em uma exponencial complexa, veja:

A cos ⁡ x + i sin ⁡ x = A e i x  

Beleza! Mas no isso foi para o exemplo 4 , agora e se tivéssemos que descobrir as raízes complexas onde...

r = 1 1 3

Passo 2

Primeiro, devemos transformar 1 em um número complexo:

1 = 1 cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π   →

Afinal cos ⁡ 2 π = 1 e sin ⁡ 2 π = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 π é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

1 = 1 cos ⁡ 2 π m + i sin ⁡ 2 π m   →

Pela notação de Euler então...

1 = 1 e 2 π m  

Passo 3

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de 1 1 / 3 , então...

1 1 3 = e 2 π m i 1 3   →

1 1 3 = e 2 π m 3 i     →

Transformando para cosseno e seno então...

1 1 3 = cos ⁡ 2 π 3 m + i sin ⁡ 2 π 3 m    

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 ...

  • Para o m = 0 :

    • cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0   =

    1

  • Para m = 1 ...

    • cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3    

    Calculando esses senos e cossenos...

    - 1 2 + 3 2     i

  • Para m = 1 ...

    • cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3    

    Calculando esses senos e cossenos...

    - 1 2 + 3 2     i

  • Para m = 2 ...

cos ⁡ 4 π 3 + i sin ⁡ 4 π 3    

Calculando esses senos e cossenos...

- 1 2 - 3 2     i

Então essas são as raízes complexas tal que r - 1 1 / 3 = 0 são...

1 ;         - 1 2 + 3 2     i             e           - 1 2 - 3 2   i

Ai você pode se perguntar: “Poxa, pensei que a raiz de r - 1 1 / 3 = 0 , fosse apenas r = 1 ”. E é, só que a única real. Mas como toda equação cúbica possui três raízes, as duas outras são as complexa!

Resposta

1 ;         - 1 2 + 3 2     i             e           - 1 2 - 3 2   i

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