Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 9

Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular

9.

x 2 y ″ - 5 x y ' + 9 y   =   0  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ - 5 x y ' + 9 y   =   0  

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 - 5 x   r x r - 1 + 9 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r - 5 r x r + 9 x r = 0

x r ( r r - 1 - 5 r + 9 ) = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 - 5 r + 9 = 0

r 2 - 6 r + 9 = 0

Por produtos notáveis podemos perceber que essa função tem a seguinte resposta

r - 3 2 = 0

Passo 3

Por fim nossa solução tem o seguinte formato, visto que as raízes são iguais:

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x r  

Que no nosso caso fica

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,5 ;1,0 ;1,5 e 2,0 . Compare os resultados com os obtidos usando outros métodos e co
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,5 ;1,0 ;1,5 e 2,0 . Compare os resultados com os obtidos usando outros métodos e co
13. Complete os cálculos necessários para obter os elementos nas colunas quatro e cinco da Tabela 8.2 . 1
14. Considere o problema de valor inicial y ' = 3 t 2 3 y 2 - 4 , y 0 = 0 (a) Desenhe um campo de direções para essa equação. (b) Estime até onde a solução pode ser estendida para a direita. Seja t M
Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de