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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 9b

Considere a equação de Bessel de ordem v ,

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,   x > 0 ,

em que v é a real e positivo.

b) Correspondendo à raiz maior v , mostre que uma solução é

y 1 x = x v [ 1 - 1 1 ! 1 + v x 2 2 + 1 2 ! 1 + v 2 + v x 4 4 + ∑ m = 3 ∞ - 1 m m ! 1 + v … m + v x 2 2 m

Passo 1

b) Fazendo

y = x r a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n + …

Substituindo isso na EDO temos

∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 2 - v 2 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Passo 2

Em seguida ajustamos os índices da segunda para a última série, obtendo

a 0   r r - 1 + r - v 2 x r + a 1 r + 1 r + r + 1 - v 2 + ∑ n = 2 ∞ r + n r + n - 1 a n + r + n a n - v 2 a n + a n - 2 x r + n = 0

Colocando o coeficiente igual a zero nós encontramos a 1 = 0 e

a n = - 1 r + n 2 - v 2 a n - 2 ,

para n ≥ 2 .

Isso nos da que

a 3 = a 5 = … = a 2 m + 1 = … = 0

Passo 3

Teríamos ainda que r = v

a n = - 1 n n + 2 v a n - 2

Então temos para m = 1 ,   2 ,   … ,

a 2 m = - 1 2 m 2 m + 2 v a 2 m - 2

= - 1 m 2 2 m m ! 1 + v 2 + v … m - 1 + v m + v a 0

Logo a solução é dada por

y 1 x = x v [ 1 - 1 1 ! 1 + v x 2 2 + 1 2 ! 1 + v 2 + v x 4 4 + ∑ m = 3 ∞ - 1 m m ! 1 + v … m + v x 2 2 m

Ou simplesmente

y 1 x = x v 1 + ∑ m = 1 ∞ - 1 m m ! 1 + v … m + v x 2 2 m

Resposta

y 1 x = x v 1 + ∑ m = 1 ∞ - 1 m m ! 1 + v … m + v x 2 2 m

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