Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 19c
Considere o sistema
c) A Eq. (iii) será satisfeita se for um autovetor; logo, um modo de proceder é escolher
como uma combinação linear apropriada de e para que a Eq. (iv) tenha solução, e depois resolvê-la para . Mas vamos proceder de maneira diferente, seguindo o padrão do
Exercício 17. Primeiro, mostre que satisfaz:
Depois, mostre que. Logo, pode ser escolhido arbitrariamente, exceto que tem
que ser independente de e de .
Passo 1
Vamos executar:
Resultaram em:
Ok a equação é verdadeira.
Passo 2
Como acabamos de efetuar é perceptível que é verdadeiro também. Portanto , pode ser escolhido arbitrariamente, exceto que tem
que ser independente de e de .
Resposta
É verdadeira.
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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x d) Uma escolha conveniente para η é ( 0 ,0 ,1 ) T . Encontre o ξ correspondente usando a Eq. (iv).Verifique se ξ é um autovetor.
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η n
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como