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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 13

Em cada um dos problemas de 13 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Faça o gráfico da solução e descreva como ela se comporta quando x → 0

13.

2 x 2 y ″ +   x y ' –   3 y   =   0

y ( 1 )   =   1 ,   y ' ( 1 )   =   4  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

2 x 2 y ″ +   x y ' –   3 y   =   0

2 x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 + x   r x r - 1 - 3 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

2 r ( r - 1 ) x r + r x r - 3 x r = 0

x r ( 2 r r - 1 + r - 3 ) = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

2 r r - 1 + r - 3 = 0

2 r 2 - r - 3 = 0

Por bhaskara podemos descobrir que as soluções são

r 1 =   - 1

r 2 = 3 2

Passo 3

Por fim nossa solução tem o seguinte formato:

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2  

Que no nosso caso fica

y = c 1 x - 1 + c 2 x 3 2  

SHOW!!! Descobrimos a solução geral, agora temos dados de contorno, vamos usa-los para descobrir nossas constantes

y 1 =   1

y ' ( 1 )   =   4  

Vamos usar o primeiro dado

y = c 1 x - 1 + c 2 x 3 2

1 = c 1 + c 2

Vamos precisar do segundo dado agora

y ' = - c 1 x - 2 + 3 2 c 2 x 1 2  

4 = - c 1 + 3 2 c 2  

Podemos substituir uma função na outra e descobrir o valor das constantes

c 1 = 1 - c 2

Vamos plotar em

4 = - c 1 + 3 2 c 2

4 = - 1 - c 2 + 3 2 c 2

  5 = 5 2 c 2

c 2 = 2

Com isso sabemos que

c 1 = 1 - c 2

c 1 = 1 - 2

c 1 =   - 1

Com isso nossa solução geral fica da seguinte forma

y = - x - 1 + 2 x 3 2

Passo 4

Se plotarmos um gráfico dessa função obtemos

Como podemos ver essa função explode para infinito negativo quando x → 0 por causa do termo x - 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = - x - 1 + 2 x 3 2

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