Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 41
Em cada um dos Problemas 41 e 42, mostre que o ponto é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma . Mostre que (exceto por múltiplos constantes) existe apenas uma solução não nula dessa forma para o Problema 41 e que não existem soluções não nulas dessa forma para o Problema 42. Assim, em nenhum dos casos a solução geral pode ser encontrada desse modo. Isso é típico de equações com pontos singulares.
41.
Passo 1
Fala galera!!!
Nos foi dado a seguinte equação diferencial:
Nessa questão, queremos mostrar que é um ponto singular regular e existe apenas uma solução não nula da forma .
Passo 2
Para resolver essa questão, é bom ter em mente que um ponto é um ponto singular de
Se e ou for diferente de zero. Se é um ponto singular, ele será um ponto singular regular se:
e
são ambos finitos.
Passo 3
Agora, vamos mostrar primeiro que o ponto é um ponto singular. Assim, para a equação diferencial
Temos que:
Assim é um ponto singular.
Agora, vamos mostrar que também é um ponto singular regular calculando . Assim temos:
Temos que ambos são finitos, assim é um ponto singular regular.
Passo 4
Agora, vamos tentar encontra uma solução na forma de série de potencia. Vamos supor que seja a seguinte série de potencia
e vamos supor que a série converge em algum intervalo . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:
Diferenciando mais uma vez, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir os resultados encontrados e na equação diferencial fornecida, assim temos:
Para combinar as três séries, precisamos colocar dentro do somatório, para isso podemos fazer da seguinte maneira:
Para combinar as três séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral . Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo por e começando a soma em em vez de , e também, mudamos o índice do somatório na segunda série substituindo por e começando a soma em em vez de e mudamos o índice do somatório na terceira série substituindo por e começando a soma em em vez de . Assim temos:
Podemos retira o termo do seguindo somatório para podemos junta-los. Assim temos:
Agora que os somatórios começar do mesmo termo, podemos junta-los da seguinte maneira:
Passo 6
Para que a equação acima seja satisfeita para todo , é preciso que o coeficiente de cada potência de seja nulo. Logo, podemos concluir que:
Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:
Rescrevendo isso, temos:
Passo 7
A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para , depois para , e assim por diante. Fazendo isso, temos:
Para
Para
Para
Para
Passo 8
Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.
Aqui, é uma constante arbitraria.
Portanto, a solução necessária é: