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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 27

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

27.

( x 2 +   x   –   2 ) y ″   +   ( x   +   1 ) y '   +   2 y   =   0

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

( x 2 +   x   –   2 ) y ″   +   ( x   +   1 ) y '   +   2 y   =   0

Nossa função P é

P x = x 2 +   x   –   2 → x - 1 x + 2

Com isso nossos pontos singulares são

x =   1

E

x =   - 2

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desses pontos agora, começando por   x = 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 x   +   1 x - 1 x + 2

= 2 3

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 1 ⁡ x - 1 2   2 x - 1 x + 2  

= 0

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = 1 é regular. Agora vamos restar x = - 2

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x   +   1 x - 1 x + 2

lim x → - 2 ⁡ x   +   1 x - 1

= 1 3

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → - 2 ⁡ x + 2 2   2 x - 1 x + 2  

= 0

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = - 2 é regular. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nossos pontos singulares são

x =   1 → Regular

E

x =   - 2 → Regular

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