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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 22

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

22.

x 2 y ″ +   x y ' +   x 2 –   v 2 y   =   0

equação de Bessel

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 2 y ″ +   x y ' +   x 2 –   v 2 y   =   0

Nossa função P é

P x =   1   –   x 2 2

Com isso nosso ponto singular é

x = 0

Passo 3

Vamos testar e ver a regularidade desse ponto

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x x x 2 = 1

Show, esse limite existe, agora vamos precisar fazer o outro teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2   –   v 2 x 2 =   - v ²

Esse limite também existe, ótimo! Esse ponto então é regular. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

nosso ponto singular é

x = 0 → Regular

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