Em cada um dos problemas de 44 a 49, use os resultados do Problema 43 para determinar se o ponto no infinito é um ponto ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial dada.

45.

Para resolver essa questão, primeiro, precisamos substituir na equação diferencial. Pela solução do exercício 43, sabemos que a equação diferencial substituída está na forma:

Onde

Pela equação diferencial fornecida. Temos que , e . Assim temos:

Para que seja um ponto comum, e devem ser contínuos e ter expansões da série Taylor sobre :

Assim, temos que não é continuo no ponto . Portanto, ou não é um ponto ordinário.

Para que seja um ponto singular regular, e devem ter expansões de Taylor sobre . Isso significa que eles devem atingir um limite finito quando . Assim temos

Como o limite é finito, é um ponto singular regular. Portanto, é um ponto singular regular.