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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 13 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Faça o gráfico da solução e descreva como ela se comporta quando x → 0

16.

x 2 y ″ +   3 x y ' +   5 y   =   0

  y ( 1 )   =   1 ,   y ' ( 1 )   =   – 1  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ +   3 x y ' +   5 y   =   0

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 + 3 x   r x r - 1 + 5 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r + 3 r x r + 5 x r = 0

x r ( r r - 1 + 3 r + 5 ) = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 + 3 r + 5 = 0

r 2 + 2 r + 5 = 0

Por bhaskara podemos descobrir que as soluções são

r 1 = - 1 + 2 i

r 2 = - 1 - 2 i

Passo 3

Quando temos raízes complexas as coisas mudam um pouco de figura. Podemos expressar nossa resposta como

y = c 1 x λ + i μ + c 2 x λ - i μ

O que nos deixa com uma resposta em termos complexos. OU podemos usar propriedades de exponencial complexa e transformar isso em senos e cossenos e assim nossa resposta seria no formato

y = c 1 x λ cos ⁡ μ ln ⁡ x + c 2 x λ sen ⁡ μ ln ⁡ x

Os dois casos estão corretos. Logo podemos dizer nossa solução é

y = c 1 x - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ x + c 2 x - 1 sen ⁡ 2 ln ⁡ x

Passo 4

Vamos descobrir agora as constantes do nosso sistema usando nossos dados de contorno

  y 1 =   1

y ' ( 1 )   =   – 1  

Com isso nossa solução geral fica

y = c 1 x - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ x + c 2 x - 1 sen ⁡ 2 ln ⁡ x

1 =   c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0  

c 1 = 1

SHOW!!! Conseguimos o primeiro termo agora vamos usar o segundo dado de contorno para descobrir c 2

y ' = - x - 2 cos ⁡ 2 ln ⁡ x - x - 1 sen ⁡ 2 ln ⁡ x ⋅ 2 x - c 2 x - 2 sen ⁡ 2 ln ⁡ x + c 2 x - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ x ⋅ 2 x

- 1 = - cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 ⋅ 2 1 - c 2 sen ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 ⋅ 2 1

- 1 = - 1 + c 2 ⋅ 2

c 2 = 0

Com isso nossa solução fica

y = x - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ x

Passo 5

Olhando agora para o gráfico da solução podemos perceber que a solução explode para infinito por causa do termo x - 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = x - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ x

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