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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = x + 1 ,     - 1 ≤ x < 0 , 1 - x ,                         0 ≤ x < 1 ;                             f x + 2 = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Esta função representa uma onda triangular e é periódica com o período 2 . Neste caso ,   L   =   1 e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Para L = 1 :

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x + b m sen ⁡ m π x

Onde os coeficientes são calculados a partir da fórmula (13) e (14) na página 600.

Para m = 0 , nós teremos:

a 0 = a m = ∫ - 1 0 x + 1 d x + ∫ 0 1 1 - x d x = 1

Para m > 0 , nós temos:

a m = ∫ - 1 0 x + 1 cos ⁡ m π x d x + ∫ 0 1 1 - x cos ⁡ m π x d x

Então:

= 1 π 2 m 2 s en ⁡ m π x m π + m π x + cos ⁡ m π x - 1 0 + 1 π 2 m 2 sen ⁡ m π x m π - m π x - cos ⁡ m π x 0 1

= 1 π 2 m 2 - cos ⁡ - m π π 2 m 2 - cos ⁡ m π π 2 m 2 - - 1 π 2 m 2

= 2 1 - cos ⁡ m π π 2 m 2

Passo 3

Similarmente, teremos:

b m = ∫ - 1 0 ( x + 1 ) sin ⁡ m π x d x + ∫ 0 1 ( 1 - x ) sin ⁡ m π x d x

Então:

= sen ⁡ π m - π m m 2 π 2 + - sen ⁡ π m + π m m 2 π 2

= 0

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ m   é   í m p a r cos ⁡ π m x m 2

Se m = 2 n - 1 :

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ m   é   í m p a r cos ⁡ π m x m 2

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ ( 2 n - 1 _ π x 2 n - 1 2

Resposta

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ ( 2 n - 1 _ π x 2 n - 1 2

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